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Arrangements et ensemble(s) de combinaisons sans remise.

samedi 26 avril 2014, par Robert

Programme libre de droits. Aucune garantie n’est apportée par l’auteur
sur la correction des résultats, ni sur quoique ce soit.

Ce programme permet d’obtenir le nombre d’arrangements ou d’ensemble(s) de combinaisons, sans remise, possibles dans un ou des ensembles donnés.

Un exemple vaut mieux qu’un long discours :
- Le tiercé dans l’ordre est est un exemple d’arrangement. Avoir les chevaux dans l’ordre 5, 4, 8 est un arrangement différent de 8, 4, 5, car l’ordre compte. Combien de chances y a-t-il d’avoir un tiercé dans l’ordre dans une course de 11 chevaux ? La formule est la suivante, $A_n^k={{n !} \over {(n-k) !}}$ avec nombre d’arrangements = A, n = 11 et k = 3 : $A_3^{11} = {{11 !} \over {8 !}}$ = (1 chance sur /) 990.
- L’euromillions est deux ensembles de combinaisons : chiffres de 1 à 50 et étoiles de 1 à 11. Dans les combinaisons, l’ordre ne compte pas ; dans l’ensemble des étoiles par exemple, choisir 2,7 est équivalent à 7,2, ce sont une seule et même combinaison. La formule pour trouver le nombre de combinaisons d’un ensemble est $C_n^k={A_n^k \over {k !}}={{n !}/{(n-k) !} \over {k !}}$ où k = le nombre d’élément de la combinaison (5 chiffres pour l’euromillion, par exemple) et n le nombre d’élément de l’ensemble (50 chiffres pour l’euromillion, par exemple).
La formule pour trouver le nombre $n_x$ de combinaisons de $k_x$ éléments dans $x$ ensembles est $C_{n_1}^{k_1} \times \dots \times C_{n_x}^{k_x}$.
A l’euromillion, on va jouer 5 (k1) chiffres sur 50 (n1) et 2 (k2) étoiles sur 11 (n2). Soit $C_5^{50} \times C_2^{11} = {\left(50 !/45 ! \over 5 ! \right)} \times {\left(11 !/9 ! \over 2 ! \right)} = 116.531.800$. Une chance sur ce nombre de gagner en ne jouant qu’une double combinaison (chiffres + étoiles)

Lancement du programe

XEQ A ENTER
- F ? (Nb) ENTER = 0=ensembles de combinaisons, 1=arrangements
- N ? (Nb) ENTER = Nombre total d’éléments de cet ensemble
- K ? (Nb) ENTER = Nombre d’éléments tirés (sans remise)
- (Si F=0) T ? (Nb) ENTER = Nb total d’ensembles de combinaisons (pour les ensembles de combinaisons seulement, pas pour les arrangements)

Ce programme modifie les registres de mémoire C, F, K, N, R, T (si F = 0) et met l’affichage en mode FIX 0.

Programme

CK 6FE9 LN=90
A001 LBL A -
A002 FIX 0 -
A003 INPUT F Flag 0=ensembles de combinaisons, 1=arrangements
A004 x=0 ? -
A005 GTO A011 Vers ensembles combinaisons
A006 INPUT N Nombre total d’éléments de cet ensemble
A007 INPUT K Nombre d’éléments tirés (sans remise)
A008 nPr Nombre d’arrangements (l’ordre compte, exple : tiercé)
A009 STO R Ak,n = n !/(n-k) !
A010 GTO A026 Vers l’affichage final
A011 1 -
A012 STO R Résultat final des ensembles de combinaisons
A013 0 -
A014 STO C Compteur du nombre total de combinaisons
A015 INPUT T Nb total d’ensembles de combinaisons (Cn,k = Ak,n/k ! = n !/(n-k) !/k !)
A016 1 -
A017 STO+ C -
A018 INPUT N Nombre total d’éléments de cet ensemble de combinaisons
A019 INPUT K Nombre d’éléments tirés (sans remise)
A020 nCr Nombre de combinaisons de l’ensemble (ordre ne compte pas (lotto))
A021 STOx R 1 x Cn1,k1 … x Cnx,kx ou x = valeur dans T
A022 RCL T -
A023 RCL C -
A024 x<y ? On a pas atteint le nb total d’ensembles ?
A025 GTO A016 Alors, on boucle
A026 CLSTK Affichage final
A027 RCL F Flag 0=ensembles de combinaisons, 1=arrangements
A028 RCL R Résultat
A029 RTN -
Arrangements et ensemble(s) de combinaisons sans remise
Le programme pour HP35S au format .ods

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